“極限”是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達”的意思，數學中的“極限”指：某一個函式中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的程序中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”，極限是一種“變化狀態”的描述，此變數永遠趨近的值A叫做“極限值”，而數學分析研究的就是在實數域上如何準確的描述極限以及極限一些特殊的性質，從這篇博客開始，博主將帶著各位從最基本的定義與極限的引入開始系統性的學習數學分析，此外由于筆者水平有限，文章如有出現錯誤還請各位讀者能夠幫忙及時指出，

一、數與數集

在中學的初等數學學習階段，我們已經明確接觸到了“數字”這個概念，由很多個數字共同組成的集合就叫做數集，例如由全體有理陣列成的集合就叫做有理數集，而由全體實陣列成的集合就叫做實數集，通常用小寫字母來表示數，而用大寫字母來表示數集，如果數 a a a在數集 A A A中，我們就稱 a a a ∈ \in ∈ A A A,不然則稱 a a a ? \notin ∈/? A A A，在數學分析（微積分）中，我們以實數集和定義在實數集上的函式為研究物件，探索他們的概念以及相應引出的一些性質，
在初等數學階段我們已經給出了兩種關于實數集上的數的分類，即實數分為有理數與無理數，用小數語言來描述即為：有理數是有限小數或無限回圈小數，而無理數則是無限不回圈小數，換句話來說，有理數可以表示為 p / q p/q p/q( p p p ∈ \in ∈ Z Z Z， q q q ∈ \in ∈ Z Z Z)的分數形式，而無理數則不能，
下面我們引入一些實數集 R R R上面的重要性質，他們將有助于我們對實數的進一步討論：
1.實數集 R R R對加減乘除的四則運演算法則是封閉的，即任意兩個實數的和，差，積，商（除數不為0）仍然是實數，
2.實數集具有有序性（三歧性），即任意兩個實數 a a a， b b b必滿足下列三個關系之一 a < b a<b a<b， a = b a=b a=b， a > b a>b a>b，
3.實數的大小具有傳遞性，若有 a > b a>b a>b， b > c b>c b>c ，則有 a > c a>c a>c，
4.實數具有阿基米德性，即對任意 a ， b ∈ R a，b\in R a，b∈R，若有b>a>0,則存在正整數n，使得 n a > b na>b na>b，
5.實數集 R R R具有稠密性，即對于任意的 a ≠ b a\neq b a?=b（不妨假設 a < b a<b a<b，一定存在有理數 c c c與無理數 d d d，滿足 a < c < b , a < d < b a<c<b,a<d<b a<c<b,a<d<b，
6.實數集上的點與數軸上的點一一對應，即每一個實數集上的點都有唯一的一個數軸上的點與之相對應，

二、一些重要的數集與確界原理

1.區間：

對于 a , b ∈ R a,b\in R a,b∈R（不妨假設 a ≤ b a\leq b a≤b），我們稱數集{ x ∣ a < x < b {x|a<x<b} x∣a<x<b}為開區間，記作 ( a , b ) (a,b) (a,b)；數集{ x ∣ a ≤ x ≤ b {x|a\leq x\leq b} x∣a≤x≤b}稱為閉區間，記作 [ a , b ] [a,b] [a,b]；相似的我們可以定義出{ x ∣ a ≤ x < b {x|a\leq x< b} x∣a≤x<b}這樣的半開半閉區間，記作 [ a , b ) [a,b) [a,b)，此外，我們定義對應{ x ∣ x > a x|x>a x∣x>a}的區間為 ( a , + ∞ ) (a,+\infty) (a,+∞)，而對應{ x ∣ x < a x|x<a x∣x<a}的區間為 ( ? ∞ , a ) (-\infty,a) (?∞,a),這樣子，我們就把數集和區間建立出了一種聯系，理論上來說，任何一個數集都可以用有限個或者無限個區間表示出來，例如：{1,2,3}可以表示為 [ 1 , 1 ] ? [ 2 , 2 ] ? [ 3 , 3 ] [1,1]\bigcup[2,2]\bigcup[3,3] [1,1]?[2,2]?[3,3]

2.鄰域：

設 a ∈ R a\in R a∈R，則滿足絕對值不等式 ∣ x ? a ∣ < δ |x-a|<\delta ∣x?a∣<δ的全體實數x的集合稱為是點a的 δ \delta δ鄰域，記作 U ( a ； δ ) U(a；\delta) U(a；δ)，或者簡單的寫為 U ( a ) U(a) U(a)，很明顯，鄰域可以用區間表示為 ( a ? δ , a + δ ) (a-\delta , a+\delta) (a?δ,a+δ);此外我們可以定義出點 a a a的空心 δ \delta δ鄰域 U 0 ( a , δ ) U^0(a,\delta) U0(a,δ)，空心 δ \delta δ鄰域即不包括點 a a a的鄰域，
還有幾種特殊的鄰域如下：
點 a a a的 δ \delta δ右鄰域 U + ( a , δ ) = [ a , a + δ ) U_+(a,\delta)=[a,a+\delta) U+?(a,δ)=[a,a+δ),簡記為 U + ( a ) U_+(a) U+?(a);
點 a a a的 δ \delta δ左鄰域 U ? ( a , δ ) = ( a ? δ , a ] U_-(a,\delta)=(a-\delta,a] U??(a,δ)=(a?δ,a],簡記為 U ? ( a ) U_-(a) U??(a);
(相應的，記點 a a a的空心 δ \delta δ左右鄰域分別為 U + 0 ( a , δ ) U^0_+(a,\delta) U+0?(a,δ)與 U ? 0 ( a , δ ) U^0_-(a,\delta) U?0?(a,δ)，

3.確界原理

確界原理的內容：若數集有上界，則數集一定有上確界；若數集有下界，則數集一定有下確界，

（1）數集的上界與下界

首先我們對數集引入上界與下界的定義：
對于實數域R中的一個數集 A A A，如果一個數 M s t . Mst. Mst.大于等于 A A A中的所有元素，那么稱 M M M是數集 A A A的一個上界，如果 M M M小于等于 A A A中所有的元素，那么稱 M M M是數集 A A A的一個下界，
顯然，如果對一個數集我們可以找到上界（下界），則稱這個數集是有上界（下界）的，
用數學語言可以描述為 ? M ∈ R , s t . ? x ∈ A 都 有 x < = M ， 那 么 A 有 上 界 \exists M\in R,st.\forall x\in A 都有x<=M，那么A有上界 ?M∈R,st.?x∈A都有x<=M，那么A有上界如果一個數集既有上界也有下界，我們就說這個數集是有界的，反之數集就是無界的

（2）上確界與下確界

接下來我們引入上確界與下確界的定義：
設 S S S是 R R R中的一個數集，如果存在一個數 η \eta η滿足：
(i) η \eta η是 S S S的上界；
(ii)對于任意的 α < η \alpha <\eta α<η，存在 x 0 ∈ S x_0\in S x0?∈S，使得 x 0 > α x_0>\alpha x0?>α;
那么我們就稱 η \eta η是S的上確界，記作 η = s u p S \eta = supS η=supS.
(ii)說明了任何一個比 η \eta η小的數都不是 S S S的上界，這就是說上確界 η \eta η是 S S S的所有上界中的最小上界，類似的，我們可以定義出下確界 ξ = i n f S \xi =infS ξ=infS，下確界就是所有下界中的最小下界，

（3）確界原理的簡單證明

至此我們已經給出了上界與下界，上確界與下確界的準確定義，下面我們來證明確界原理，事實上，我們只需要證明出上確界的情況即可，下確界的情況可以類似證明出來，
設 S S S為有上界的非空數集，即 ? M s t . ? x ∈ S ， x < M \exists Mst.\forall x\in S，x<M ?Mst.?x∈S，x<M，我們令 E E E={ x ∣ x x|x x∣x是 S S S的上界且 x ≤ M x\leq M x≤M}，很明顯 E E E不是空集，對于 E E E我們有 ? y 1 ， y 2 ∈ E ， ? a ∈ [ 0 , 1 ] ， 都 有 b = a y 1 + ( 1 ? a ) y 2 ≥ m i n ( y 1 , y 2 ) , 故 b ∈ E \forall y1，y2\in E，\forall a\in[0,1]，都有b=ay1+(1-a)y2\geq min(y1,y2),故b\in E ?y1，y2∈E，?a∈[0,1]，都有b=ay1+(1?a)y2≥min(y1,y2),故b∈E，所以說 E E E是一個區間，因此要證明出存在上確界只需要證明出 E E E中存在一個最小的數即可，
不妨假設 E E E中不存在一個最小的數，即 E = ( a , M ] E=(a,M] E=(a,M]，則 a a a不是 S S S的上界，因此在 S S S中一定存在一個數 x 0 > a x_0>a x0?>a，則有 a < x 0 + a 2 < x 0 a<\frac{x_0+a}{2}<x_0 a<2x0?+a?<x0?，由于 x 0 > x 0 + a 2 x_0>\frac{x_0+a}{2} x0?>2x0?+a?，因此 x 0 + a 2 \frac{x_0+a}{2} 2x0?+a?不是 S S S的上界，這與 E E E的定義相矛盾，故可以證明出 E E E中必定存在一個最小的數，至此確界原理得到證明，
確界原理是極限理論的重要基礎，同時也是實數具有完備性的充分反映，

三、數列極限的引入

若無窮數列{ a n a_n an?}有定義： ? a ∈ R ， 對 于 ? ? > 0 , 總 是 ? N ∈ N + , s t . n > N 有 ∣ a n ? a ∣ < ? \exists a\in R，對于\forall \epsilon>0,總是\exists N\in \N^+,st.n>N有|a_n-a|<\epsilon ?a∈R，對于??>0,總是?N∈N+,st.n>N有∣an??a∣<?那么我們就說數列{ a n a_n an?}s是收斂的且數列收斂于 a a a，或者說 a a a是數列{ a n a_n an?}的極限，并記作 lim ? n → ∞ a n = a \lim_{n\to\infty}a_n=a limn→∞?an?=a
例如對于 a n = 1 n a_n=\frac{1}{n} an?=n1?，對于 ? ? > 0 \forall \epsilon>0 ??>0，只要取 N = [ 1 ? ] N=[\frac{1}{\epsilon}] N=[?1?]（即 1 ? \frac{1}{\epsilon} ?1?取整），就能保證 ∣ a n ? 0 ∣ < ? |a_n-0|<\epsilon ∣an??0∣<?，即有 lim ? n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 limn→∞?n1?=0，這種通過放縮不等式來找到 N N N去保證 ∣ a n ? a ∣ < ? |a_n-a|<\epsilon ∣an??a∣<?的做法就叫做數列極限的定義求法，
事實上 ∣ a n ? a ∣ < ? |a_n-a|<\epsilon ∣an??a∣<?也就是指 a n a_n an?位于鄰域 U ( a , ? ) U(a,\epsilon) U(a,?)之中，上述關于數列極限的定義也就是對于任意大的一個 U ( a ) U(a) U(a)鄰域外都只有有限個數列上的點，這就是數列極限的幾何意義，
數列{ a n a_n an?}本身擁有無窮多個元素，而極限則給出了一種方式可以讓我們通過有限的程序去描繪一個無限的數列，在這里我們引入了無窮這個概念，無窮是整個數學分析（微積分）的一個核心概念，將會貫穿我們整個的學習程序，在后續的博客中我會給大家將會重點介紹無窮的概念，
最后我們再引入兩個重要的數列極限：
如果 lim ? n → ∞ a n = 0 \lim_{n\to\infty}a_n=0 limn→∞?an?=0，我們稱{ a n a_n an?}是無窮小數列；
如果 lim ? n → ∞ a n = ∞ \lim_{n\to\infty}a_n=\infty limn→∞?an?=∞，我們稱{ a n a_n an?}是無窮大數列或一個無窮大量，