現代數字信號處理課后作業【第六章】

6-2 用雙線性變換法及沖激回應不變法將下列模擬系統函式 H a ( s ) H_a(s) Ha?(s)轉變成數字系統函式 H ( z ) H(z) H(z)

• 沖激回應不變法：
  ? H a ( s ) = ∑ i = 1 N A i s ? s i ? H ( z ) = ∑ i = 1 N A i 1 ? e s i T z ? 1 H_a(s)=\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{A_i}{s-s_i}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ H(z)=\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{A_i}{1-e^{s_iT}{z^{-1}}} Ha?(s)=i=1∑N?s?si?Ai?? ? H(z)=i=1∑N?1?esi?Tz?1Ai??

• 雙線性變換法：
  ? s = 2 T 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 ? H ( z ) = H ( s ) ∣ s = 2 T 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 s=\dfrac{2}{T}\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ H(z)=H(s)\bigg|_{s=\dfrac{2}{T}\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}} s=T2?1+z?11?z?1? ? H(z)=H(s)∣∣∣∣?s=T2?1+z?11?z?1??

( 1 ) H a ( s ) = 3 ( s + 1 ) ( s + 3 ) T = 0.5 (1)H_a(s)=\dfrac{3}{(s+1)(s+3)} \ \ \ \ \ \ \ T=0.5 (1)Ha?(s)=(s+1)(s+3)3? T=0.5

• 沖激回應不變法：

? H a ( s ) = A 1 s + 1 + A 2 s + 3 = 3 2 ? 1 s + 1 ? 3 2 ? 1 s + 3 H_a(s)=\dfrac{A_1}{s+1}+\dfrac{A_2}{s+3}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{s+1}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{s+3} Ha?(s)=s+1A1??+s+3A2??=23??s+11??23??s+31?

H ( z ) = 3 2 ? 1 1 ? e ? T z ? 1 ? 3 2 ? 1 1 ? e ? 3 T z ? 1 \ \ \ H(z)=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-T}z^{-1}}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-3T}z^{-1}} H(z)=23??1?e?Tz?11??23??1?e?3Tz?11?

= 3 2 ? 1 1 ? e ? 0.5 z ? 1 ? 3 2 ? 1 1 ? e ? 1.5 z ? 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-0.5}z^{-1}}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-1.5}z^{-1}} =23??1?e?0.5z?11??23??1?e?1.5z?11?

• 雙線性變換法：

? H ( z ) = H a ( s ) ∣ s = 2 T 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = 3 ( s + 1 ) ( s + 3 ) ∣ s = 4 ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = 3 ( 1 + z ? 1 ) 2 ( 5 ? 3 z ? 1 ) ( 7 ? z ? 1 ) H(z)=H_a(s)\bigg|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=\dfrac{3}{(s+1)(s+3)}\bigg|_{s={4}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=\dfrac{3(1+z^{-1})^2}{(5-3z^{-1})(7-z^{-1})} H(z)=Ha?(s)∣∣∣∣?s=T2?1+z?11?z?1??=(s+1)(s+3)3?∣∣∣∣?s=4?1+z?11?z?1??=(5?3z?1)(7?z?1)3(1+z?1)2?

? = 3 + 6 z ? 1 + 3 z ? 2 35 ? 26 z ? 1 + 3 z ? 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{3+6z^{-1}+3z^{-2}}{35-26z^{-1}+3z^{-2}} =35?26z?1+3z?23+6z?1+3z?2?

( 2 ) H a ( s ) = 1 s 2 + s + 1 T = 2 (2)H_a(s)=\dfrac{1}{s^2+s+1} \ \ \ \ \ \ \ T=2 (2)Ha?(s)=s2+s+11? T=2

• 沖激回應不變法：

? H a ( s ) = 1 ( s + 1 2 ? 3 2 j ) ( s + 1 2 + 3 2 j ) = A 1 s + 1 2 ? 3 2 j + A 2 s + 1 2 + 3 2 j H_a(s)=\dfrac{1}{(s+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}j)(s+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}j)}=\dfrac{A_1}{s+\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}j}+\dfrac{A_2}{s+\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}j} Ha?(s)=(s+21??23 ??j)(s+21?+23 ??j)1?=s+21??23 ??jA1??+s+21?+23 ??jA2??

A 1 = ? j 3 A 2 = j 3 \ \ \ \ A_1=-\dfrac{j}{\sqrt{3}} \ \ \ \ \ \ A_2=\dfrac{j}{\sqrt{3}} A1?=?3 ?j? A2?=3 ?j?

H ( z ) = ? j 3 ? 1 1 ? e ( ? 1 2 + 3 2 j ) T z ? 1 + j 3 ? 1 1 ? e ( ? 1 2 ? 3 2 j ) T z ? 1 \ \ \ H(z)=-\dfrac{j}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{1-e^{(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}j)T}z^{-1}}+\dfrac{j}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{1-e^{(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}j)T}z^{-1}} H(z)=?3 ?j??1?e(?21?+23 ??j)Tz?11?+3 ?j??1?e(?21??23 ??j)Tz?11?

= ? j 3 ? 1 1 ? e ? 1 + 3 j z ? 1 + j 3 ? 1 1 ? e ? 1 ? 3 j z ? 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\dfrac{j}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-1+\sqrt{3}j}z^{-1}}+\dfrac{j}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-1-\sqrt{3}j}z^{-1}} =?3 ?j??1?e?1+3 ?jz?11?+3 ?j??1?e?1?3 ?jz?11?

• 雙線性變換法：

? H ( z ) = H a ( s ) ∣ s = 2 T 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = 1 s 2 + s + 1 ∣ s = 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = 1 + 2 z ? 1 + z ? 2 3 + z ? 2 H(z)=H_a(s)\bigg|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=\dfrac{1}{s^2+s+1}\bigg|_{s=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=\dfrac{1+2z^{-1}+z^{-2}}{3+z^{-2}} H(z)=Ha?(s)∣∣∣∣?s=T2?1+z?11?z?1??=s2+s+11?∣∣∣∣?s=1+z?11?z?1??=3+z?21+2z?1+z?2?

( 3 ) H a ( s ) = 3 s + 2 2 s 2 + 3 s + 1 T = 0.1 (3)H_a(s)=\dfrac{3s+2}{2s^2+3s+1} \ \ \ \ \ \ \ T=0.1 (3)Ha?(s)=2s2+3s+13s+2? T=0.1

• 沖激回應不變法：

? H a ( s ) = 3 s + 2 ( 2 s + 1 ) ( s + 1 ) = A 1 2 s + 1 + A 2 s + 1 H_a(s)=\dfrac{3s+2}{(2s+1)(s+1)}=\dfrac{A_1}{2s+1}+\dfrac{A_2}{s+1} Ha?(s)=(2s+1)(s+1)3s+2?=2s+1A1??+s+1A2??

A 1 = 1 A 2 = 1 \ \ \ \ A_1=1 \ \ \ \ \ \ A_2=1 A1?=1 A2?=1

H a ( s ) = 1 2 ? 1 s + 1 2 + 1 s + 1 \ \ \ H_a(s)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s+\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{s+1} Ha?(s)=21??s+21?1?+s+11?

H ( z ) = 1 2 ? 1 1 ? e ? 1 2 T z ? 1 + 1 1 ? e ? T z ? 1 = 1 2 ? 1 1 ? e ? 0.05 z ? 1 + 1 1 ? e ? 0.1 z ? 1 \ \ \ H(z)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\frac{1}{2}T}z^{-1}}+\dfrac{1}{1-e^{-T}z^{-1}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-0.05}z^{-1}}+\dfrac{1}{1-e^{-0.1}z^{-1}} H(z)=21??1?e?21?Tz?11?+1?e?Tz?11?=21??1?e?0.05z?11?+1?e?0.1z?11?

• 雙線性變換法：

? H ( z ) = H a ( s ) ∣ s = 2 T 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = 3 s + 2 2 s 2 + 3 s + 1 ∣ s = 20 ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = 62 + 4 z ? 1 ? 58 z ? 2 861 ? 1598 z ? 1 + 741 z ? 2 H(z)=H_a(s)\bigg|_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=\dfrac{3s+2}{2s^2+3s+1}\bigg|_{s=20\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}=\dfrac{62+4z^{-1}-58z^{-2}}{861-1598z^{-1}+741z^{-2}} H(z)=Ha?(s)∣∣∣∣?s=T2?1+z?11?z?1??=2s2+3s+13s+2?∣∣∣∣?s=20?1+z?11?z?1??=861?1598z?1+741z?262+4z?1?58z?2?

6-3 用沖激回應不變法設計一個三階巴特沃茲數字低通濾波器，截止頻率為1kHz，抽樣頻率為6.28318kHz，

? 已 知 ： 三 階 巴 特 沃 茲 低 通 濾 波 器 N = 3 ， f c = 1 k H z ， f s = 6.28318 k H z 已知：三階巴特沃茲低通濾波器 N=3，f_c=1kHz，f_s=6.28318kHz 已知：三階巴特沃茲低通濾波器N=3，fc?=1kHz，fs?=6.28318kHz

? T = 1 f s = 1 6.28318 ? 1 0 3 ≈ 1 Ω c T=\dfrac{1}{f_s}=\dfrac{1}{6.28318\cdot10^3}\approx\dfrac{1}{Ω_c} T=fs?1?=6.28318?1031?≈Ωc?1?

? Ω c = 2 π f c = 2000 π ， s k = Ω c e j π ( 1 2 + 2 k ? 1 2 N ) k = 1 , 2 , . . . , 2 N Ω_c=2\pi f_c=2000\pi，s_k=Ω_ce^{j\pi (\frac{1}{2}+\frac{2k-1}{2N})}\ \ \ \ \ k=1,2,...,2N Ωc?=2πfc?=2000π，sk?=Ωc?ejπ(21?+2N2k?1?) k=1,2,...,2N

? s 1 = Ω c ( ? 1 2 + 3 2 j ) s 2 = ? Ω c s 3 = Ω c ( ? 1 2 ? 3 2 j ) s_1=Ω_c(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}j)\ \ \ \ s_2=-Ω_c\ \ \ \ s_3=Ω_c(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}j) s1?=Ωc?(?21?+23 ??j) s2?=?Ωc? s3?=Ωc?(?21??23 ??j)

? s 4 = Ω c ( 1 2 ? 3 2 j ) s 5 = Ω c s 6 = Ω c ( 1 2 + 3 2 j ) s_4=Ω_c(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}j)\ \ \ \ s_5=Ω_c\ \ \ \ s_6=Ω_c(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}j) s4?=Ωc?(21??23 ??j) s5?=Ωc? s6?=Ωc?(21?+23 ??j)

? 為 了 使 系 統 穩 定 ， 巴 特 沃 茲 系 統 函 數 由 S 左 半 平 面 極 點 構 成 ： 為了使系統穩定，巴特沃茲系統函式由S左半平面極點構成： 為了使系統穩定，巴特沃茲系統函數由S左半平面極點構成：

? H a ( s ) = Ω c N ∏ k = 1 N ( s ? s k ) ∣ N = 3 = Ω c 3 ( s ? s 1 ) ( s ? s 2 ) ( s ? s 3 ) = A 1 s ? s 1 + A 2 s ? s 2 + A 3 s ? s 3 H_a(s)=\dfrac{Ω_c^N}{\prod\limits_{k=1}^{N}(s-s_k)}\bigg|_{N=3}=\dfrac{Ω_c^3}{(s-s_1)(s-s_2)(s-s_3)}=\dfrac{A_1}{s-s_1}+\dfrac{A_2}{s-s_2}+\dfrac{A_3}{s-s_3} Ha?(s)=k=1∏N?(s?sk?)ΩcN??∣∣∣∣?N=3?=(s?s1?)(s?s2?)(s?s3?)Ωc3??=s?s1?A1??+s?s2?A2??+s?s3?A3??

? A 1 = Ω c 3 2 j ? 3 2 A 2 = Ω c A 3 = Ω c ? 3 2 j ? 3 2 A_1=\dfrac{Ω_c}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}j-\dfrac{3}{2}}\ \ \ \ A_2=Ω_c\ \ \ \ A_3=\dfrac{Ω_c}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}j-\dfrac{3}{2}} A1?=23 ??j?23?Ωc?? A2?=Ωc? A3?=?23 ??j?23?Ωc??

? H ( z ) = ∑ i = 1 N A i 1 ? e s i T z ? 1 ∣ T = 1 f s = 1 Ω c H(z)=\sum\limits_{i=1}^{N}\dfrac{A_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}\bigg|_{T=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{Ω_c}} H(z)=i=1∑N?1?esi?Tz?1Ai??∣∣∣∣?T=fs?1?=Ωc?1??

? = Ω c 3 2 j ? 3 2 ? 1 1 ? e ? 1 2 + j 3 2 z ? 1 + Ω c ? 1 1 ? e ? 1 z ? 1 + Ω c ? 3 2 j ? 3 2 ? 1 1 ? e ? 1 2 ? j 3 2 z ? 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{Ω_c}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}j-\dfrac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}}z^{-1}}+Ω_c\cdot\dfrac{1}{1-e^{-1}z^{-1}}+\dfrac{Ω_c}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}j-\dfrac{3}{2}}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}}z^{-1}} =23 ??j?23?Ωc???1?e?21?+j23 ??z?11?+Ωc??1?e?1z?11?+?23 ??j?23?Ωc???1?e?21??j23 ??z?11?

6-4 用雙線性變換法設計一個三階巴特沃茲數字低通濾波器，截止頻率為 f c = 400 H z f_c=400Hz fc?=400Hz，抽樣頻率為 f s = 2000 H z f_s=2000Hz fs?=2000Hz，

注：模擬頻率 f c f_c fc?：每秒經歷多少個周期，單位Hz，即1/s；
模擬角頻率 Ω c Ω_c Ωc?：每秒經歷多少弧度，單位rad/s；
數字頻率 w w w：每個采樣點間隔之間的弧度，單位rad，
數字頻率與模擬頻率相互轉化： w = 2 π f c f s w=\dfrac{2\pi f_c}{f_s} w=fs?2πfc??， f s f_s fs?為抽樣頻率，

? Ω c = 2 T t a n w 2 = 2 T t a n ( 2 π ? 400 2 ? 2000 ) = 2 T t a n ( 0.2 π ) Ω_c=\dfrac{2}{T}tan\dfrac{w}{2}=\dfrac{2}{T}tan(\dfrac{2\pi \cdot400}{2\cdot2000})=\dfrac{2}{T}tan(0.2\pi) Ωc?=T2?tan2w?=T2?tan(2?20002π?400?)=T2?tan(0.2π)

? H ( z ) = H a ( s ) = 1 [ ( s Ω c ) 2 + s Ω c + 1 ] ( s Ω c + 1 ) ∣ s = 2 T ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 H(z)=H_a(s)=\dfrac{1}{[(\dfrac{s}{Ω_c})^2+\dfrac{s}{Ω_c}+1](\dfrac{s}{Ω_c}+1)}\bigg|_{s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}} H(z)=Ha?(s)=[(Ωc?s?)2+Ωc?s?+1](Ωc?s?+1)1?∣∣∣∣?s=T2??1+z?11?z?1??

? s Ω c ∣ s = 2 T ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 ， Ω c = 2 T t a n ( 0.2 π ) = 1 t a n ( 0.2 π ) ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = α ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 \dfrac{s}{Ω_c}\bigg|_{s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}，Ω_c=\frac{2}{T}tan(0.2\pi)}=\dfrac{1}{tan(0.2\pi)}\cdot\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}=\alpha\cdot\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} Ωc?s?∣∣∣∣?s=T2??1+z?11?z?1?，Ωc?=T2?tan(0.2π)?=tan(0.2π)1??1+z?11?z?1?=α?1+z?11?z?1?

? 其 中 α = 1 t a n ( 0.2 π ) ≈ 1.376 其中\alpha=\dfrac{1}{tan(0.2\pi)}\approx1.376 其中α=tan(0.2π)1?≈1.376

? H ( z ) = 1 + 3 z ? 1 + 3 z ? 2 + z ? 3 [ ( α 2 ? α + 1 ) z ? 2 + ( ? 2 α 2 + 2 ) z ? 1 + α 2 + α + 1 ] [ 1 + α + ( 1 ? α ) z ? 1 ] H(z)=\dfrac{1+3z^{-1}+3z^{-2}+z^{-3}}{[(\alpha^2-\alpha+1)z^{-2}+(-2\alpha^2+2)z^{-1}+\alpha^2+\alpha+1][1+\alpha+(1-\alpha)z^{-1}]} H(z)=[(α2?α+1)z?2+(?2α2+2)z?1+α2+α+1][1+α+(1?α)z?1]1+3z?1+3z?2+z?3?

? H ( z ) = 1 + 3 z ? 1 + 3 z ? 2 + z ? 3 ( 1.517 z ? 2 ? 1.787 z ? 1 + 4.269 ) ( 2.376 ? 0.376 z ? 1 ) H(z)=\dfrac{1+3z^{-1}+3z^{-2}+z^{-3}}{(1.517z^{-2}-1.787z^{-1}+4.269)(2.376-0.376z^{-1})} H(z)=(1.517z?2?1.787z?1+4.269)(2.376?0.376z?1)1+3z?1+3z?2+z?3?

? = 1 + 3 z ? 1 + 3 z ? 2 + z ? 3 10.143 ? 5.851 z ? 1 + 4.276 z ? 2 + 0.57 z ? 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1+3z^{-1}+3z^{-2}+z^{-3}}{10.143-5.851z^{-1}+4.276z^{-2}+0.57z^{-3}} =10.143?5.851z?1+4.276z?2+0.57z?31+3z?1+3z?2+z?3?

6-6 用數字頻帶變換法設計一個二階數字高通濾波器截止頻率 f c = 300 H z f_c=300Hz fc?=300Hz，抽樣頻率為 f s = 2000 H z f_s=2000Hz fs?=2000Hz，

• 雙線性變換法求解二階低通濾波器：

? 設 低 通 濾 波 器 截 止 頻 率 700 H z , 抽 樣 頻 率 2000 H z 設低通濾波器截止頻率700Hz,抽樣頻率2000Hz 設低通濾波器截止頻率700Hz,抽樣頻率2000Hz

? Ω c = 2 T t a n w 2 = 2 T t a n 2 π ? 700 2 ? 2000 = 2 T t a n 7 π 20 Ω_c=\dfrac{2}{T}tan\dfrac{w}{2}=\dfrac{2}{T}tan\dfrac{2\pi \cdot700}{2\cdot2000}=\dfrac{2}{T}tan\dfrac{7\pi}{20} Ωc?=T2?tan2w?=T2?tan2?20002π?700?=T2?tan207π?

? 二 階 巴 特 沃 茲 低 通 濾 波 器 H a ( s ) = 1 ( s Ω c ) 2 + 1.4142 ? s Ω c + 1 二階巴特沃茲低通濾波器H_a(s)=\dfrac{1}{(\dfrac{s}{Ω_c})^2+1.4142\cdot\dfrac{s}{Ω_c}+1} 二階巴特沃茲低通濾波器Ha?(s)=(Ωc?s?)2+1.4142?Ωc?s?+11?

? H l ( z ) = 1 ( s Ω c ) 2 + 1.4142 ? s Ω c + 1 ∣ s = 2 T ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 H_l(z)=\dfrac{1}{(\dfrac{s}{Ω_c})^2+1.4142\cdot\dfrac{s}{Ω_c}+1}\bigg|_{s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}} Hl?(z)=(Ωc?s?)2+1.4142?Ωc?s?+11?∣∣∣∣?s=T2??1+z?11?z?1??

? s Ω c ∣ s = 2 T ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 ， Ω c = 2 T t a n 7 π 20 = 1 t a n ( 7 π 20 ) ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 = α ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 \dfrac{s}{Ω_c}\bigg|_{s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}，Ω_c=\frac{2}{T}tan\frac{7\pi}{20}}=\dfrac{1}{tan(\frac{7\pi}{20})}\cdot\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}=\alpha\cdot\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} Ωc?s?∣∣∣∣?s=T2??1+z?11?z?1?，Ωc?=T2?tan207π??=tan(207π?)1??1+z?11?z?1?=α?1+z?11?z?1?

? 其 中 α = t a n 7 π 20 ≈ 1.962 其中\alpha=tan\dfrac{7\pi}{20}\approx1.962 其中α=tan207π?≈1.962

? 所 以 二 階 數 字 低 通 濾 波 器 函 數 為 ： 所以二階數字低通濾波器函式為： 所以二階數字低通濾波器函數為：

? H l ( z ) = 1 α 2 ( 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 ) 2 + 1.4142 ? 1 ? z ? 1 1 + z ? 1 + ( 1 + z ? 1 ) 2 H_l(z)=\dfrac{1}{\alpha^2(\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}})^2+1.4142\cdot\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}+(1+z^{-1})^2} Hl?(z)=α2(1+z?11?z?1?)2+1.4142?1+z?11?z?1?+(1+z?1)21?

= ( 1 + z ? 1 ) 2 α 2 ( 1 ? z ? 1 ) 2 + 1.4142 ? ( 1 ? z ? 1 ) ( 1 + z ? 1 ) + ( 1 + z ? 1 ) 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{(1+z^{-1})^2}{\alpha^2(1-z^{-1})^2+1.4142\cdot(1-z^{-1})(1+z^{-1})+(1+z^{-1})^2} =α2(1?z?1)2+1.4142?(1?z?1)(1+z?1)+(1+z?1)2(1+z?1)2?

• 數字頻帶變換法將低通轉成高通：

? β = ? c o s ( w l c + w c ) 2 c o s ( w l c ? w c ) 2 = ? c o s [ ( 700 + 300 ) ? 2 π 2000 ? 2 ] c o s [ ( 700 ? 300 ) ? 2 π 2000 ? 2 ] = 0 \beta=-\dfrac{cos\dfrac{(w_{lc}+w_c)}{2}}{cos\dfrac{(w_{lc}-w_c)}{2}}=-\dfrac{cos\big[\dfrac{(700+300)\cdot2\pi}{2000\cdot2}\big]}{cos\big[\dfrac{(700-300)\cdot2\pi}{2000\cdot2}\big]}=0 β=?cos2(wlc??wc?)?cos2(wlc?+wc?)??=?cos[2000?2(700?300)?2π?]cos[2000?2(700+300)?2π?]?=0

? z l ? 1 ? ? z ? 1 + β 1 + β z ? 1 = ? z ? 1 z_l^{-1}\Rightarrow -\dfrac{z^{-1}+\beta}{1+\beta z^{-1}}=-z^{-1} zl?1???1+βz?1z?1+β?=?z?1

? 二 階 數 字 高 通 濾 波 器 函 數 H ( z ) = H l ( z ) ∣ z = ? z ? 1 二階數字高通濾波器函式H(z)=H_l(z)\bigg|_{z=-z^{-1}} 二階數字高通濾波器函數H(z)=Hl?(z)∣∣∣∣?z=?z?1?

? H ( z ) = 1 ? 2 z ? 1 + z ? 2 α 2 ( 1 + z ? 1 ) 2 + 1.4142 ( 1 + z ? 1 ) ( 1 ? z ? 1 ) + ( 1 ? z ? 1 ) 2 H(z)=\dfrac{1-2z^{-1}+z^{-2}}{\alpha^2(1+z^{-1})^2+1.4142(1+z^{-1})(1-z^{-1})+(1-z^{-1})^2} H(z)=α2(1+z?1)2+1.4142(1+z?1)(1?z?1)+(1?z?1)21?2z?1+z?2?

? = 1 ? 2 z ? 1 + z ? 2 α 2 + 1 + ( 2 α 2 ? 2 ) z ? 1 + ( α 2 ? 0.4142 ) z ? 2 其 中 α = t a n 7 π 20 ≈ 1.962 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1-2z^{-1}+z^{-2}}{\alpha^2+1+(2\alpha^2-2)z^{-1}+(\alpha^2-0.4142)z^{-2}} \ \ \ \ 其中\alpha=tan\dfrac{7\pi}{20}\approx1.962 =α2+1+(2α2?2)z?1+(α2?0.4142)z?21?2z?1+z?2? 其中α=tan207π?≈1.962

? H ( z ) = 1 ? 2 z ? 1 + z ? 2 4.849 + 5.698 z ? 1 + 3.435 z ? 2 H(z)=\dfrac{1-2z^{-1}+z^{-2}}{4.849+5.698z^{-1}+3.435z^{-2}} H(z)=4.849+5.698z?1+3.435z?21?2z?1+z?2?