我們在 JavaScript 里執行 0.1 + 0.2，會得到下面這個結果：

那今天，我們來思考幾個問題：

• 為什么負數要用補碼表示？
• 十進制小數怎么轉成二進制？
• 計算機是怎么存小數的？
• 0.1 + 0.2 == 0.3 嗎？
• …

別看這些問題都看似簡單，但是其實還是有點東西的這些問題，

為什么負數要用補碼表示？

十進制轉換二進制的方法相信大家都熟能生巧了，如果你說你還不知道，我覺得你還是太謙虛，可能你只是忘記了，即使你真的忘記了，不怕，貼心的小林在和你一起回憶一下，

十進制數轉二進制采用的是除 2 取余法，比如數字 8 轉二進制的程序如下圖：

接著，我們看看「整數型別」的數字在計算機的存盤方式，這其實很簡單，也很直觀，就是將十進制的數字轉換成二進制即可，

我們以 int 型別的數字作為例子，int 型別是 32 位的，其中最高位是作為「符號標志位」，正數的符號位是 0，負數的符號位是 1，剩余的 31 位則表示二進制資料，

那么，對于 int 型別的數字 1 的二進制數表示如下：

而負數就比較特殊了點，負數在計算機中是以「補碼」表示的，所謂的補碼就是把正數的二進制全部取反再加 1，比如 -1 的二進制是把數字 1 的二進制取反后再加 1，如下圖：

不知道你有沒有想過，為什么計算機要用補碼的方式來表示負數？在回答這個問題前，我們假設不用補碼的方式來表示負數，而只是把最高位的符號標志位變為 1 表示負數，如下圖程序：

如果采用這種方式來表示負數的二進制的話，試想一下 -2 + 1 的運算程序，如下圖：

按道理，-2 + 1 = -1，但是上面的運算程序中得到結果卻是 -3，所可以發現，這種負數的表示方式是不能用常規的加法來計算了，就需要特殊處理，要先判斷數字是否為負數，如果是負數就要把加法操作變成減法操作才可以得到正確對結果，

到這里，我們就可以回答前面提到的「負數為什么要用補碼方式來表示」的問題了，

如果負數不是使用補碼的方式表示，則在做基本對加減法運算的時候，還需要多一步操作來判斷是否為負數，如果為負數，還得把加法反轉成減法，或者把減法反轉成加法，這就非常不好了，畢竟加減法運算在計算機里是很常使用的，所以為了性能考慮，應該要盡量簡化這個運算程序，

而用了補碼的表示方式，對于負數的加減法操作，實際上是和正數加減法操作一樣的，你可以看到下圖，用補碼表示的負數在運算 -2 + 1 程序的時候，其結果是正確的：

十進制小數與二進制的轉換

好了，整數十進制轉二進制我們知道了，接下來看看小數是怎么轉二進制的，小數部分的轉換不同于整數部分，它采用的是乘 2 取整法，將十進制中的小數部分乘以 2 作為二進制的一位，然后繼續取小數部分乘以 2 作為下一位，直到不存在小數為止，

話不多說，我們就以 8.625 轉二進制作為例子，直接上圖：

最后把「整數部分 + 小數部分」結合在一起后，其結果就是 1000.101，

但是，并不是所有小數都可以用二進制表示，前面提到的 0.625 小數是一個特例，剛好通過乘 2 取整法的方式完整的轉換成二進制，如果我們用相同的方式，來把 0.1 轉換成二進制，程序如下：

可以發現，0.1 的二進制表示是無限回圈的，由于計算機的資源是有限的，所以是沒辦法用二進制精確的表示 0.1，只能用「近似值」來表示，就是在有限的精度情況下，最大化接近 0.1 的二進制數，于是就會造成精度缺失的情況，

對于二進制小數轉十進制時，需要注意一點，小數點后面的指數冪是負數，比如二進制 0.1 轉成十進制就是 2^(-1)，也就是十進制 0.5，二進制 0.01 轉成十進制就是 2^-2，也就是十進制 0.25，以此類推，

舉個例子，二進制 1010.101 轉十進制的程序，如下圖：

計算機是怎么存小數的？

1000.101 這種二進制小數是「定點數」形式，代表著小數點是定死的，不能移動，如果你移動了它的小數點，這個數就變了， 就不再是它原來的值了，

然而，計算機并不是這樣存盤的小數的，計算機存盤小數的采用的是浮點數，名字里的「浮點」表示小數點是可以浮動的，比如 1000.101 這個二進制數，可以表示成 1.000101 x 2^(-3)，類似于數學上的科學記數法，

既然提到了科學計數法，我再幫大家復習一下，比如有個很大的十進制數 1230000，我們可以也可以表示成 1.23 x 10^6，這種方式就稱為科學記數法，該方法在小數點左邊只有一個數字，而且把這種整數部分沒有前導 0 的數字稱為規格化，比如 1.0 x 10^(-9) 是規格化的科學記數法，而 0.1 x 10^(-9) 和 10.0 x 10^(-9) 就不是了，

因此，如果二進制要用到科學記數法，同時要規范化，那么不僅要保證基數為 2，還要保證小數點左側只有 1 位，而且必須為 1，所以通常將 1000.101 這種二進制數，表示成 1.000101 x 2^(-3)，其中，最為關鍵的是 000101 和 -3 這兩個東西，它就可以包含了這個二進制小數的所有資訊，000101 稱為尾數，即小數點后面的數字，-3 稱為指數，指定了小數點在資料中的位置，

現在絕大多數計算機使用的浮點數，一般采用的是 IEEE 制定的國際標準，這種標準形式如下圖：

這三個重要部分的意義如下：

• 符號位：表示數字是正數還是負數，為 0 表示正數，為 1 表示負數；
• 指數位：指定了小數點在資料中的位置，指數可以是負數，也可以是正數，指數位的長度越長則數值的表達范圍就越大；
• 尾數位：小數點右側的數字，也就是小數部分，比如二進制 1.0011 x 2^(-2)，尾數部分就是 0011，而且尾數的長度決定了這個數的精度，因此如果要表示精度更高的小數，則就要提高尾數位的長度；

用 32 位來表示的浮點數，則稱為單精度浮點數，也就是我們編程語言中的 float 變數，而用 64 位來表示的浮點數，稱為雙精度浮點數，也就是 double 變數，它們的結構如下：

可以看到：

• double 的尾數部分是 52 位，float 的尾數部分是 23 位，由于同時都帶有一個固定隱含位（這個后面會說），所以 double 有 53 個二進制有效位，float 有 24 個二進制有效位，所以所以它們的精度在十進制中分別是 log10(2^53) 約等于 15.95 和 log10(2^24) 約等于 7.22 位，因此 double 的有效數字是 15~16 位，float 的有效數字是 7~8 位，這些是有效位是包含整數部分和小數部分；
• double 的指數部分是 11 位，而 float 的指數位是 8 位，意味著 double 相比 float 能表示更大的數值范圍；

那二進制小數，是如何轉換成二進制浮點數的呢？我們就以 10.625 作為例子，看看這個數字在 float 里是如何存盤的，

首先，我們計算出 10.625 的二進制小數為 1010.101，然后把小數點，移動到第一個有效數字后面，即將 1010.101 右移 3 位成 1.010101，右移 3 位就代表 +3，左移 3 位就是 -3，float 中的「指數位」就跟這里移動的位數有關系，把移動的位數再加上「偏移量」，float 的話偏移量是 127，相加后就是指數位的值了，即指數位這 8 位存的是 10000010（十進制 130），因此你可以認為「指數位」相當于指明了小數點在資料中的位置，

1.010101 這小數點右側的數字就是 float 里的「尾數位」，由于尾數位是 23 位，則后面要補充 0，所以最終尾數位存盤的數字是 01010100000000000000000，

在算指數的時候，你可能會有疑問為什么要加上偏移量呢？

前面也提到，指數可能是正數，也可能是負數，即指數是有符號的整數，而有符號整數的計算是比無符號整數麻煩的，所以為了減少不必要的麻煩，在實際存盤指數的時候，需要把指數轉換成無符號整數，float 的指數部分是 8 位，IEEE 標準規定單精度浮點的指數取值范圍是 -126 ~ +127，于是為了把指數轉換成無符號整數，就要加個偏移量，比如 float 的指數偏移量是 127，這樣指數就不會出現負數了，

比如，指數如果是 8，則實際存盤的指數是 8 + 127 = 135，即把 135 轉換為二進制之后再存盤，而當我們需要計算實際的十進制數的時候，再把指數減去偏移量即可，

細心的朋友肯定發現，移動后的小數點左側的有效位（即 1）消失了，它并沒有存盤到 float 里，這是因為 IEEE 標準規定，二進制浮點數的小數點左側只能有 1 位，并且還只能是 1，既然這一位永遠都是 1，那就可以不用存起來了，于是就讓 23 位尾數只存盤小數部分，電路在計算時會自動把這個 1 加上，這樣就可以節約 1 位的空間，尾數就能多存一位小數，相應的精度就更高了一點，

那么，對于我們在從 float 的二進制浮點數轉換成十進制時，要考慮到這個隱含的 1，轉換公式如下：

舉個例子，我們把下圖這個 float 的資料轉換成十進制，程序如下：

0.1 + 0.2 == 0.3 ?

前面提到過，并不是所有小數都可以用「完整」的二進制來表示的，比如十進制 0.1 在轉換成二進制小數的時候，是一串無限回圈的二進制數，計算機是無法表達無限回圈的二進制數的，畢竟計算機的資源是有限，

因此，計算機只能用「近似值」來表示該二進制，那么意味著計算機存放的小數可能不是一個真實值，現在基本都是用 IEEE 754 規范的單精度浮點型別或雙精度浮點型別來存盤小數的，根據精度的不同，近似值也會不同，

那計算機是存盤 0.1 是一個怎么樣的二進制浮點數呢？偷個懶，我就不自己手動算了，可以使用 binaryconvert 這個工具，將十進制 0.1 小數轉換成 float 浮點數：

可以看到，8 位指數部分是 01111011，23 位的尾數部分是 10011001100110011001101，可以看到尾數部分是 0011 是一直回圈的，只不過尾數是有長度限制的，所以只會顯示一部分，所以是一個近似值，精度十分有限，

接下來，我們看看 0.2 的 float 浮點數：

可以看到，8 位指數部分是 01111100，稍微和 0.1 的指數不同，23 位的尾數部分是 10011001100110011001101 和 0.1 的尾數部分是相同的，也是一個近似值，

0.1 的二進制浮點數轉換成十進制的結果是 0.100000001490116119384765625：

0.2 的二進制浮點數轉換成十進制的結果是 0.20000000298023223876953125：

這兩個結果相加就是 0.300000004470348358154296875：

所以，你會看到在計算機中 0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，這主要是因為有的小數無法可以用「完整」的二進制來表示，所以計算機里只能采用近似數的方式來保存，那兩個近似數相加，得到的必然也是一個近似數，

我們在 JavaScript 里執行 0.1 + 0.2，你會得到下面這個結果：

結果和我們前面推到的類似，因為 JavaScript 對于數字都是使用 IEEE 754 標準下的雙精度浮點型別來存盤的，而我們二進制只能精準表達 2 除盡的數字 1/2, 1/4, 1/8，但是例如 0.1(1/10) 和 0.2(1/5)，在二進制中都無法精準表示時，需要根據精度舍入，

我們人類熟悉的十進制運算系統，可以精準表達 2 和 5 除盡的數字，例如1/2, 1/4, 1/5(0.2), 1/8, 1/10(0.1)，當然，十進制也有無法除盡的地方，例如 1/3, 1/7，也需要根據精度舍入，

總結

最后，再來回答開頭多問題，

為什么負數要用補碼表示？

負數之所以用補碼的方式來表示，主要是為了統一和正數的加減法操作一樣，畢竟數字的加減法是很常用的一個操作，就不要搞特殊化，盡量以統一的方式來運算，

十進制小數怎么轉成二進制？

十進制整數轉二進制使用的是「除 2 取余法」，十進制小數使用的是「乘 2 取整法」，

計算機是怎么存小數的？

計算機是以浮點數的形式存盤小數的，大多數計算機都是 IEEE 754 標準定義的浮點數格式，包含三個部分：

• 符號位：表示數字是正數還是負數，為 0 表示正數，為 1 表示負數；
• 指數位：指定了小數點在資料中的位置，指數可以是負數，也可以是正數，指數位的長度越長則數值的表達范圍就越大；
• 尾數位：小數點右側的數字，也就是小數部分，比如二進制 1.0011 x 2^(-2)，尾數部分就是 0011，而且尾數的長度決定了這個數的精度，因此如果要表示精度更高的小數，則就要提高尾數位的長度；

用 32 位來表示的浮點數，則稱為單精度浮點數，也就是我們編程語言中的 float 變數，而用 64 位來表示的浮點數，稱為雙精度浮點數，也就是 double 變數，

0.1 + 0.2 == 0.3 嗎？

不是的，0.1 和 0.2 這兩個數字用二進制表達會是一個一直回圈的二進制數，比如 0.1 的二進制表示為 0.0 0011 0011 0011… （0011 無限回圈)，對于計算機而言，0.1 無法精確表達，這是浮點數計算造成精度損失的根源，

因此，計算機只能用「近似值」來表示該二進制，那么意味著計算機存放的小數可能不是一個真實值，

0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3，這主要是因為這兩個小數無法用「完整」的二進制來表示，所以計算機里只能采用近似數的方式來保存，那兩個近似數相加，得到的必然也是一個近似數，

作者簡介：大家好，我是小林，一個專為大家圖解的工具人，微信搜索「小林coding」，關注專注于圖解計算機基礎的我，寫了很多原創的圖解系列文章，如圖解網路、圖解系統、圖解資料庫等等，這么賣力的圖解，當然是希望大家能學起來不會枯燥，小林期待你的關注，和我一起熱氣騰騰的成長，