第七章 青蛙跳臺階和漢諾塔問題

青蛙跳臺階

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階，求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法

思路

遇見題目我們可以在紙上先動手畫畫，把最簡單的幾種方式列出來，作比較，找規律，

分析

按照上面表格可以從跳法次數，程序，或者兩者結合找規律

1. 從跳法次數分析

• 觀察表格，可以知道從n>=3時，第n個數就是前兩個數的和（與斐波那契數列一樣）
• 我們自己推論，當臺階數為n時，設跳法有f(n)次，如果青蛙先跳1階，則剩下的臺階數為n-1，即剩余跳法有f(n-1)次；如果青蛙先跳2階，則剩下的臺階數為n-2，即剩余跳法有f(n-2)次，
• 故跳法次數f(n)=f(n-1)+f(n-2)，因為等號右邊有兩個值，故當n=1，n=2時為最后的特殊限制條件
• 下面代碼為遞回求法，如果想用非遞回，可以將遞回通項改成回圈

代碼1（遞回）

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
	if (n == 1)
		return 1;
	if (n == 2)
		return 2;
	return jump(n - 1) + jump(n - 2);
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int ret = jump(n);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

2. 從程序分析

• 觀察表格，可以知道，跳n階臺階，跳兩階臺階次數可以為0到n/2次，而每一次跳兩階臺階的順序也是不定的，可以通過計數原理的組合數C(n，m)，表示從n個數中選m個數排列，n表示每次需要跳的次數，m表示一次跳兩階的次數
• 組合數C(n，m)，可以由n！/(m！*(n-m)！)求得
• 下面代碼為非遞回求法，如果想要寫成遞回，可以根據回圈修改

代碼2（非遞回）

#include <stdio.h>
int fac(int m)
{
	int i = 0;
	int count = 1;
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		count *= i;
	}
	return count;
}
int jump(int n)
{
	int i = 0;						//i為跳兩階臺階的次數
	int sum = 0;					//sum為計算跳法
	for (i = 0; i <= n / 2; i++)
	{
		int a = 0;
		a = n - i * 2 + i;			//a為跳到n階臺階跳的次數	
		sum += fac(a) / (fac(i)*fac(a - i));
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int ret = jump(n);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

青蛙跳臺階變式1

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階…也可以跳n級臺階，求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法

分析

• 根據原題推論，當臺階數為n時，設跳法有f(n)次，如果青蛙先跳1階，則剩下的臺階數為n-1，即剩余跳法有f(n-1)次；如果青蛙先跳2階，則剩下的臺階數為n-2，即剩余跳法有f(n-2)次，
• 那么當青蛙跳3階臺階，則剩下的臺階數為n-3，即剩余跳法有f(n-3)次…當青蛙跳n階臺階，則剩下的臺階數為n-n，即剩余跳法有f(n-n)次
• 故跳法次數f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
• 由推論可得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)，將其代入上面式子
• 故跳法次數為f(n)=2*f(n-1)，因為等號右邊只有一個值，故n=1為最后的特殊限制條件

代碼3（遞回）

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
	if (n == 1)
		return 1;
	return 2*jump(n - 1);
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int ret = jump(n);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

青蛙跳臺階變式2

題目

一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階…也可以跳m級臺階，求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法(m<=n)

分析

• 根據變式1推論得f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-n)
• 而這里最多一次只能跳m階，故f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)
• 由推論得f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)…+f(n-m)+f(n-m-1)，代入上面式子
• 故跳法次數為f(n)=2*f(n-1)-f(n-m-1)
• 因為通過遞回n的值在減少，當n<m時，其實最多就只能跳n階，與變式1就是一樣的問題了

代碼4（遞回）

#include <stdio.h>
int jump(int n,int m)
{
	if (n > m)
		return 2 * jump(n - 1, m) - jump(n - 1 - m, m);
	else
	{
		if (n == 1)
			return 1;
		return 2 * jump(n - 1, n);
	}
}
int main()
{
	int n, m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	int ret = jump(n,m);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

漢諾塔問題（求步數）

題目

有A，B，C三個柱子，A柱子上從上到下，從小到大排列著n個圓盤，現要求將A柱子上的n個圓盤全部移動到C柱子上，依然按照從上到下，從小到大的順序排列，且對移動程序要求如下：

a）一次只能移動一個盤子，

b）移動程序中大盤子不允許出現在小盤子上方，

問：總共需要移動的步數是多少？

思路

因為求的是步數，我們可以通過找前面幾組資料，觀察是否有什么規律

分析

• 通過表格觀察，可以知道盤子數為n時，步數為2⁰+2¹+…+2^n-1，即2ⁿ-1
• 我們可以通過下面這張圖片來推論：
• 假設盤子數量為n，通過化繁為簡思想，我們可以把盤子分成兩個部分，上面n-1個盤子，和最下面一個盤子，移動步驟如下：
  1. 將最上面的n-1個盤子移動到B柱上
  2. 將最下面的盤子移動到C柱上
  3. 再將B柱上的n-1個盤子移動到C柱上
• 問題轉化成如何移動最上面n-1個盤子，按照上面的思路解決n-1個盤子移動的問題，
• 假設移動n個盤子需要的步數為f(n)，則移動n-1個盤子需要f(n-1)步，
• 故移動步數為f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)，即f(n)=2*f(n-1)+1
• 通過等比數列變形又可以得到f(n)=2ⁿ-1

代碼5（非遞回）

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int count =0;
    count=(int)pow(2,n)-1;
	printf("%d", count);
	return 0;
}

代碼6（遞回）

#include <stdio.h>
int tower(int n)
{
	if (n == 1)
		return 1;
	else
		return 2 * tower(n - 1) + 1;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int ret=tower(n);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

漢諾塔問題（求移動程序）

題目

有A，B，C三個柱子，A柱子上從上到下，從小到大排列著n個圓盤，現要求將A柱子上的n個圓盤全部移動到C柱子上，依然按照從上到下，從小到大的順序排列，且對移動程序要求如下：

a）一次只能移動一個盤子，

b）移動程序中大盤子不允許出現在小盤子上方，

問：列印移動的方案 (例如, 移動A柱最上面的圓盤到C柱, 則輸出"A -> C")

思路

因為求的是移動方案，所以我們可以將前幾組資料列出來，結合遞回化簡為繁的思想找共性和非共性

分析

• 通過觀察得到：除了n=1，n>1時，都是先將A柱上面n-1個盤子拿到B柱（粗字體為其程序），再將A柱最下面盤子拿到C柱，此時A柱變成輔助柱，再將B柱上的盤子放到C柱
• 故將A柱最下面盤子移到C柱為中間程序
• 上一步為將初始柱（A柱）上面n-1個盤子借助輔助柱（C柱）移到目標柱（B柱）【其實可以這里看作單獨一個n-1的漢諾塔，將A柱上的盤子移動到B柱】
• 下一步為將初始柱（B柱）上面n-1個盤子借助輔助柱（A柱）移到目標柱（C柱）【其實可以這里看作單獨一個n-1的漢諾塔，將B柱上的盤子移動到C柱】
• 而上一步，中間程序，下一布就是遞回的核心思想
• 而當n=1時，盤子數只有一個，我們將其直接放到目標柱即可（其為最終的限制條件）
• 初始柱，輔助柱，目標柱，其實就是把該步驟的移動程序當作一個單獨的漢諾塔問題，需要移動盤子現在所在的位置為初始柱，要將其放到的位置就是目標柱

代碼7（遞回）

#include <stdio.h>
void hanio(int n, char x, char y, char z)
{
	if (n == 1)
		printf("%c->%c\n",x,z);		//當盤子只剩一個時，直接列印初始柱移動到目標柱的程序
	else
	{
		hanio(n - 1, x, z, y);		//將n-1個盤子從起始柱放到目標柱(第一次A->B，第二次B->A，后面往復)
        
		printf("%c->%c\n", x, z);	//列印初始柱移動到目標柱的程序
        
		hanio(n - 1, y, x, z);		//將n-1個盤子從起始柱放到目標柱(第一次B->C，第二次C->B，后面往復)
	}
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	hanio(n,'A','B','C');
	return 0;
}

結語

• 以上青蛙跳臺階和漢諾塔問題主要是圍繞講解遞回思想，如果不太理解遞回，可以瀏覽上一章第六章 C世界函式的故事（2）進行查閱，
• 本次講解，不乏其中有很多漏洞和不足，如果大家覺得哪里不好，可以評論給我指正，希望和大家一起進步，