線性卷積原理

公示（1）為兩個離散非周期序列進行線性卷積

$\large y(n)=x(n)\ast h(n)=\sum_{m=-\propto }^{+\propto}x(m)h(n-m)=\sum_{m=-\propto }^{+\propto }h(m)x(n-m)\left ( 1 \right )$

一般我們計算線性卷積時使用圖解法最為常見，簡單概括為“變數置換”、“翻轉”、“平移”、“相乘”以及“求和”，這里就不過多陳述，

利用對位相乘法計算線性卷積

將兩個離散非周期序列左端或右端對齊，對位相乘，然后按列求和，不進位，以序列x(n)=[1 2 3] 和h(n)=[1 1 1 1]并且以左端對齊為例，運算程序如下：

首先以序列h(n)為物件，將左起第一個1分別與序列x(n)的三個元素1、2、3依次相乘得到1、2、3，然后右移移位一位，相當于移到h(2)的位置上，用該位置上的元素1分別乘以x(n)的1、2、3，依舊得到1、2、3，同樣的，繼續移位并執行相同的操作，注意移到某個位置時相乘后的結果要與該元素的位置對齊，最后，將每一行相乘的結果按列相加即可得到卷積結果，對比圖解法，此方法更為快捷，明了，

同樣我們也可以以x(n)為物件，用它的元素分別乘以h(n),如下圖所示：

當然，讀者也可用圖解法驗證上述結果是否正確，并且以右端對齊為例驗證上述結果，一個以右端對齊的例子：

Matlab實操

源代碼

%% =========================================================================================================
% 程式說明：本程式提供一種基于對位相乘法的自定義線性卷積函式寫法，替代Matlab自帶conv函式，供大家參考
% 程式名稱：linear convolution 線性卷積
% 作者： hill5678
% 當前版本：1.0
%% =========================================================================================================
clear all;
close all;
clc;
%% ==================================================主函式部分==============================================
X=input('enter a arbitrary discrete-time sequence here:');
H=input('enter a arbitrary discrete-time sequence here:');
Y=linear_convolution(X,H);
display(Y);
%% ================================================定義線性卷積函式============================================
function y=linear_convolution(x,h)
n=length(x);m=length(h);% 輸入離散時間序列的長度
y=[];y1=[];y2=[];y3=[];y4=[];y5=[];y6=[];
a=m;
N=n+m-1;% 卷積后新序列的長度
b=N;
M=N-n;% 矩陣形成并移位后每行需要補零的個數
for i1=0:a-2
    for i=0:m-1
        for k=0:n-1
            y1(i+1,k+1)=h(i+1)*x(k+1);% 按照對位相乘法將兩個序列左端對齊，依次對位相乘
        end
        y2=y1;% 將結果矩陣賦給要y2
    end
    y3=[y2,zeros(m,M)];%將y2后面加入零矩陣
    y4=circshift(y3(i1+2,:),i1+1,2);% 回圈移位函式，將y4從第二行開始向右按行移位，第二行移一位，第三行移兩位，按此規律依次類推
    y5=[y5;y4];
end
y6=[y3(1,:);y5];% y3的第一行不變
y=sum(y6);% 將矩陣y6按列相加得到卷積結果
disp(y);
stem(y,'fill')
title('線性卷積結果：序列y(n)');
grid on;
end