本文已收錄于專欄 💜《夜深人靜寫演算法》💜

前言

??看到太多爆肝熬夜整合的內容，又是幾萬字，又是爆肝，我也來試試看能不能扛得住，試完后發現，果然還是扛不住啊，但是既然整理完了，那就把我的 演算法學習路線 發出來吧，我把整個演算法學習的階段總結成了五個步驟，分別為： 「 基礎語法 」、 「 語法練習 」、 「 資料結構 」、 「 演算法入門 」、 「 演算法進階 」，本文梳理了這五個大項的思維導圖，在下文會有詳細介紹，
??希望各位能夠找到自己的定位，通過自己的努力在演算法這條路上越走越遠，
??剛開始切勿心浮氣躁，說一定要把這么多東西都學會，就算你的精力旺盛，日夜操勞，時間也是有限的，所以，首先是明確我們要做什么，然后制定好一個合理的 「 目標 」 ，然后再將目標進行逐漸拆解，再一點一點將要學習的內容逐步付諸實踐才是最重要的，

點擊我跳轉末尾 獲取 粉絲專屬 《演算法和資料結構》原始碼，

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1、基礎語法

??演算法是以編程語言為基礎的，所以選擇一門編程語言來學習是必須的，因為作者本身是C/C++技術堆疊的，所以就拿C語言來舉例子吧，如果是 Java、Python 技術堆疊，可以跳過 C語言相關的內容，這一小節，先給出學習路線圖，然后我再來講，每部分應該如何去學，

1）第一個程式

??無論是 Java、Python、C/C++，想要上手一門語言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急著去配環境，如果環境配了幾個小時，可能一開始的雄心壯志就被配環境的程序消磨殆盡，更加不要談日后的豐功偉業了，來看第一個 C 語言程式：

#include <stdio.h>               // (1)
int main()                       // (2)
{
   /* 我的第一個 C 程式 */       // (3)
   printf("Hello, World! \n");   // (4)
   return 0;                     // (5)
}

這段代碼只做了一件事情，就是向螢屏上輸出一行字：Hello, World!，
( 1 ) (1) (1) stdio.h是一個頭檔案 (標準輸入輸出頭檔案) , #include是一個預處理命令，用來引入頭檔案，當編譯器遇到 printf()函式時，如果沒有找到 stdio.h頭檔案，就會發生編譯錯誤，
( 2 ) (2) (2) main()作為這個程式的入口函式，代碼都是從這個函式開始執行的，
( 3 ) (3) (3) 被/*和*/包圍起來的代表注釋，是給人看到，不進行代碼的決議和執行，
( 4 ) (4) (4) printf代表將內容輸出到控制臺上，其中\n代表換行符，
( 5 ) (5) (5) 作為函式的回傳值，

2）熱愛編程

??所以，我們需要讓這件事情從一開始就變得 有趣，這樣才能堅持下去，比如找一個相對較為有趣的教程，這里我會推薦這個：《光天化日學C語言》，聽名字就比較搞笑，可能作者本身也不是什么正經人，哈哈哈！雖然不能作為一個嚴謹的教程去學，起碼可以對搞笑的內容先產生興趣，從而對于語言本身有學習下去的動力，
??剛才提到的這個系列，可以先收藏起來，回頭再去看，它講述的是 對白式 的 C語言教學，從最簡單的輸出 HelloWorld 這個字串開始講起，逐漸讓讀者產生對C語言的興趣，這個系列的作者是前 WorldFinal 退役選手，一直致力于 將困難的問題講明白 ，我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂，

3）制定目錄

??然后，我們大致看下你選擇的教程的前幾個章節，那些標題是否有你認知以外的名詞出現，比如以這個思維導圖為例，前幾個章節為：

1、第一個C語言程式
2、搭建本地環境
3、變數
4、標準輸出
5、標準輸入
6、進制轉換入門
7、ASCII字符
8、常量

??如果你覺得這些名詞中有 五六個是沒有什么概念的，那么，可能需要補齊一些數學、計算機方面的基礎知識，反之，我們就可以繼續下一步了，

4）勤于思考

??只要對一件事情養成習慣以后，你就會發現，再難的事情，都只是一點一點積累的程序，重要的是，每天學習的程序一定要吃透，養成主動思考的好習慣，因為，越到后面肯定是越難的，如果前期不養成習慣，后面很可能心有余而力不足，
??就像刷題，一旦不會做就去找解題報告，最后就養成了看解題報告才會做題的習慣，當然這也是一種習慣，只不過不是一種好習慣罷了，

5）事必躬親

??光看教程肯定是不行的，寫代碼肯定還是要動手的，因為有些語法你看一遍，必定忘記，但是寫了幾遍，永世難忘，這或許就是寫代碼的魅力所在吧，所以，記得多寫代碼實踐，

6）堅持到底

??每天把教程上的內容，自己在鍵盤上敲一遍，堅持一天，兩天，三天，你會發現，第四天就變成了習慣，所以堅持就是今天做了這件事情，明天繼續做，

7）正反饋

??然而，就算再有趣的教程，看多了都會乏味，這是人性決定的，你我都逃不了，能夠讓你堅持下去的只有你自己，這時候，適當給予自己一些正反饋就顯得尤為重要，比如，可以用一張表格將自己的學習計劃記錄下來，然后每天都去分析一下自己的資料，
??當然，你也可以和我一樣，創建一個博客，然后每天更新博文，就算沒有內容，也堅持日更，久而久之，你會發現，下筆如有神，鍵盤任我行！更新的內容，可以是自己的學習筆記，心路歷程 等等，
??看著每天的粉絲量呈指數級增長，這是全網對你的認可，應該沒有什么會是比這個更好的正反饋了，

8）儀式感

??那么，至此，不知道螢屏前的你感想如何，反正正在打字的我已經激情澎湃了，已經全然忘記這一章是要講C語言基礎的了！
??介于篇幅，我會把C語言基礎的內容，放在這個專欄 《光天化日學C語言》 里面去講，一天更新一篇，對啊，既然說了要堅持，要養成習慣，我當然也要做到啦~如果你學到了哪一章，可以在評論區評論 “打卡” ，也算是一種全網見證嘛！
??我也很希望大家的學習速度能夠超越我的更新速度，

2、語法練習

??學習的程序中，做題當然也是免不了的，還是應征那句話：實踐是檢驗真理的唯一標準，
??而這里的題庫，是我花了大量時間，搜羅了網上各大C語言教程里的例題，總結出來的思維導圖，可以先大致看一眼：

??從數學基礎、輸入輸出、資料型別、回圈、陣列、指標、函式、位運算、結構體、排序 等幾個方面，總結出的具有概括性的例題 100 道 《C語言入門100例》，

• 這里可以列舉幾個例子：

1、例題1：整除判定

一、題目描述

??先輸入一個 t t t，然后輸入 t t t 組資料，對于每組資料，輸入兩個整數 a a a 和 b b b，如果 a a a 能夠被 b b b 整除，則輸出 YES，否則輸出 NO，

二、解題思路

難度：🔴????
??首先，當 b b b 等于 0 時， a a a 是一定不能被 b b b 整除的；然后，就是看 a a a 除上 b b b 的余數是不是零了，這步運算在C語言中表示為a % b；

三、代碼詳解

1、if else 陳述句

#include <stdio.h>
int main() {
    int a, b, t;
    scanf("%d", &t);             // (1)
    while (t--) {                // (2)
        scanf("%d %d", &a, &b);
        if (b == 0 || a % b)     // (3)
            printf("NO\n");
        else
            printf("YES\n");
    }
    return 0;
}

• ( 1 ) (1) (1) 輸入 t t t 組資料；
• ( 2 ) (2) (2) while(t--)等價于while(t-- != 0)，當 t = 0 t=0 t=0 的情況下，這個回圈就會結束，也就是說整個回圈會執行一開始輸入的那個t的次數；
• ( 3 ) (3) (3) 根據本題的題意，用邏輯運算子||（或）對兩種情況輸出 N O NO NO，一種是 b等于0，另一個中是 a % b不等于0；

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2、條件運算子

#include <stdio.h>
int main() {
    int a, b, t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        printf("%s\n", (b == 0 || a % b) ? "NO" : "YES"); // (1)
    }
    return 0;
}

• ( 1 ) (1) (1) 采用條件運算子?:來實作if else陳述句的功能；

2、例題2：最大的數

一、題目描述

??回圈輸入，每組資料先輸入 n ( n ≤ 10000 ) n(n \le 10000) n(n≤10000)，再輸入 n n n 個正整數 a i ( a i ≤ 10000 ) a_i(a_i \le 10000) ai?(ai?≤10000)，輸出其中最大的數，當沒有任何輸入時，程式結束，

二、解題思路

難度：🔴????
??這個問題的經典思路就是列舉問題，以第一個元素為初始最大值，然后不斷和第二個數、第三個數、…、第 n n n 個數進行比較，程序中將最大值存下來，最后輸出這個最大值即可，

三、代碼詳解

#include <stdio.h>
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;             // (1)
}
int main() {
    int n, a, i, maxv;
    while(scanf("%d", &n) != EOF) {
        for(i = 0; i < n; ++i) {
            scanf("%d", &a);
            if(i == 0) {              // (2)
                maxv = a;       
            }
            maxv = max(a, maxv);      // (3)
        }
        printf("%d\n", maxv);
    }
    return 0;
}

• ( 1 ) (1) (1) 首先，實作一個最大值函式：給定兩個數，求其中的大者，我們利用三目運算子來實作；
• ( 2 ) (2) (2) 對 n n n 個數迭代求大者，將最大值存盤在maxv中，當輸入第一個數的時候因為沒有比較，所以我們把第一個輸入的數直接賦值給它；
• ( 3 ) (3) (3) 然后對每個輸入的數a，和maxv比大小，迭代求最大值；

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??由于這個專欄是付費專欄，可能對學生黨不是很友好，所以作者經過再三思考，打算放出 300 張 7 折優惠券， 先到先得，只要拿這個圖片來找作者即可享受，僅限前 300 名，
??為了適當提高一定門檻，你至少需要學會如何下載圖片或者截圖并且發送到微信里 🤣，

3、資料結構

??《C語言入門100例》上的例題，如果能理解前面 35 道，那基本C語言的學習就可以告一段落了，接下來就要開始我們的資料結構的學習了，

1、什么是資料結構

• 你可能聽說過 陣列、鏈表、佇列、堆疊、堆、二叉樹、圖，沒錯，這些都是資料結構，但是你要問我什么是資料結構，我突然就一臉懵逼了，
• 如果一定要給出一個官方的解釋，那么它就是：

計算機存盤、組織資料的方式，相互之間存在一種或多種特定關系的資料元素的集合，通常情況下，精心選擇的資料結構可以帶來更高的運行或者存盤效率，往往同高效的檢索演算法和索引技術有關，

• 是不是還不如說它是堆，是堆疊，是佇列呢？
• 是這樣的，我們學習的程序中，跳過一些不必要的概念，能夠節省我們更多的時間，從而達到更好的效果，當你還在理解資料結構是什么的時候，可能人家已經知道了堆疊有哪些操作了，

2、資料結構和演算法的關系

• 很多同學搞不明白，資料結構與演算法有哪些千絲萬縷的關系？甚至有些同學以為演算法里本身就包含了資料結構，
• 資料結構主要講解資料的組織形式，比如鏈表，堆，堆疊，佇列，
• 而演算法，則注重的是思想，比如鏈表的元素怎么插入、洗掉、查找？堆的元素怎么彈出來的？堆疊為什么是先進后出？佇列又為什么是先進先出？
• 講得直白一點，資料結構是有物體的，演算法是虛擬的；資料結構是物質上的，演算法是精神上的，當然，物質和精神 缺一不可，

3、資料結構概覽

第一章 線性表 《畫解資料結構》（1 - 1）- 順序表

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《畫解資料結構》（1 - 2）- 鏈表

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《畫解資料結構》（1 - 3）- 堆疊

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《畫解資料結構》（1 - 4）- 佇列

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《畫解資料結構》（1 - 5）- 雙端佇列

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《畫解資料結構》（1 - 6）- 哈希表

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第二章 樹 （2-1）畫解樹

?? 更多內容請收看：畫解樹，

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（2-2）畫解二叉樹

?? 為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解二叉樹，

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《畫解資料結構》（2 - 3）- 二叉搜索樹

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（2-4）畫解堆

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解堆，

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（2-5）畫解AVL樹

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解二叉平衡樹，

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（2-6）畫解線段樹

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解線段樹，

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（2-7）畫解字典樹

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解字典樹，

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（2-8）畫解霍夫曼樹

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解霍夫曼樹，

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（2-9）畫解并查集

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解并查集，

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第三章 圖 （3-1）畫解圖

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解圖，

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（3-2）畫解二分匹配

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解二分匹配，

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（3-3）畫解最短路

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解最短路，

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（3-4）畫解最小生成樹

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解最小生成樹，

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（3-5）畫解強連通

?? 本文已超五萬字，為了增加閱讀體驗，更多內容請收看：畫解強連通，

4、演算法入門

• 演算法入門，其實就是要開始我們的刷題之旅了，先給出思維導圖，然后一一介紹入門十大演算法，
  

🌌《演算法入門指引》🌌

5、演算法進階

• 演算法進階這塊是我打算規劃自己未來十年去完成的一個專案，囊括了 大學生ACM程式設計競賽、高中生的OI競賽、LeetCode 職場面試演算法 的演算法全集，也就是之前網路上比較有名的 《夜深人靜寫演算法》 系列，這可以說是我自己對自己的一個要求和目標吧，
• 如果只是想進大廠，那么 演算法入門 已經足夠了，不需要再來看演算法進階了，當然如果對演算法有濃厚興趣，也歡迎和我一起打卡，由于內容較難，作業也比較忙，所以學的也比較慢，一周基本也只能更新一篇，

這個系列主要分為以下幾個大塊內容：
??1）圖論
??2）動態規劃
??3）計算幾何
??4）數論
??5）字串匹配
??6）高級資料結構（課本上學不到的）
??7）雜項演算法

• 先來看下思維導圖，然后我大致講一下每一類演算法各自的特點，以及學習方式：

1）圖論

1、搜索概覽

• 圖論主要圍繞搜索演算法進行展開，搜索演算法的原理就是列舉，利用計算機的高性能，給出人類制定好的規則，列舉出所有可行的情況，找到可行解或者最優解，
  
• 比較常見的搜索演算法是 深度優先搜索（又叫深度優先遍歷） 和 廣度優先搜索（又叫廣度優先遍歷 或者 寬度優先遍歷），各種圖論的演算法基本都是依靠這兩者進行展開的，

2、深度優先搜索

• 深度優先搜索一般用來求可行解，利用剪枝進行優化，在樹形結構的圖上用處較多；而廣度優先搜索一般用來求最優解，配合哈希表進行狀態空間的標記，從而避免重復狀態的計算；
• 原則上，天下萬物皆可搜，只是時間已惘然，搜索會有大量的重復狀態出現，這里的狀態和動態規劃的狀態是同一個概念，所以有時候很難分清到底是用搜索還是動態規劃，
• 但是，大體上還是有跡可循的，如果這個狀態不能映射到陣列被快取下來，那么大概率就是需要用搜索來求解的，
• 如圖所示，代表的是一個深度優先搜索的例子，紅色實箭頭表示搜索路徑，藍色虛箭頭表示回溯路徑，
  
• 紅色塊表示往下搜索，藍色塊表示往上回溯，遍歷序列為：

	0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6

• 同樣，搜索的例子還有：
  
• 計算的是利用遞回實作的 n n n 的階乘，

3、記憶化搜索

• 對于斐波那契函式的求解，如下所示：
• f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n ? 1 ) + f ( n ? 2 ) ( n > 2 ) f(n) = \begin{cases}1 & (n = 0) \\1 & (n = 1) \\f(n-1) + f(n-2) & (n > 2) \end{cases} f(n)=??????11f(n?1)+f(n?2)?(n=0)(n=1)(n>2)?
• 對于 f ( 5 ) f(5) f(5) 的求解，程式呼叫如下：
  
• 這個程序用到了很多重復狀態的搜索，我們需要將它優化，一般將一些狀態快取起來，
• 我們通過一個動圖來感受一下：
  
• 當第二次需要計算 f ( 2 ) f(2) f(2) 和 f ( 3 ) f(3) f(3) 時，由于結果已經計算出來并且存盤在 h [ 2 ] h[2] h[2] 和 h [ 3 ] h[3] h[3] 中，所以上面這段代碼的fib != inf運算式為真，直接回傳，不再需要往下遞回計算，這樣就把原本的 “遞回二叉樹” 轉換成了 “遞回鏈”， 從而將原本指數級的演算法變成了多項式級別，
• 這就是記憶化搜索，像這種把狀態快取起來的方法，就是動態規劃的思想了，

4、廣度優先搜索

• 單向廣搜就是最簡化情況下的廣度優先搜索（Breadth First Search），以下簡稱為廣搜，游戲開發程序中用到的比較廣泛的 A* 尋路，就是廣搜的加強版，
• 我們通過一個動圖來對廣搜有一個初步的印象，

• 從圖中可以看出，廣搜的本質還是暴力列舉，即對于每個當前位置，列舉四個相鄰可以行走的方向進行不斷嘗試，直到找到目的地，有點像洪水爆發，從一個源頭開始逐漸蔓延開來，直到所有可達的區域都被洪水灌溉，所以我們也把這種演算法稱為 FloodFill，
• 那么，如何把它描述成程式的語言呢？這里需要用到一種資料結構 —— 佇列，
• 這時候，演算法和資料結構就完美結合了，

2）動態規劃

動態規劃演算法三要素：
??①所有不同的子問題組成的表；
??②解決問題的依賴關系可以看成是一個圖；
??③填充子問題的順序（即對②的圖進行拓撲排序，填充的程序稱為狀態轉移）；

• 如果子問題的數目為 O ( n t ) O(n^t) O(nt)，每個子問題需要用到 O ( n e ) O(n^e) O(ne) 個子問題的結果，那么我們稱它為 tD/eD 的問題，于是可以總結出四類常用的動態規劃方程：（下面會把opt作為取最優值的函式（一般取 m i n min min 或 m a x max max ）, w ( j , i ) w(j, i) w(j,i)為一個實函式，其它變數都可以在常數時間計算出來），

1、1D/1D

• d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d[i] = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j ) d[i]=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
• 狀態轉移如圖四所示（黃色塊代表 d [ i ] d[i] d[i]，綠色塊代表 d [ j ] d[j] d[j]）：
  
• 這類狀態轉移方程一般出現在線性模型中，

2、2D/0D

• d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ? 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j ? 1 ] + y j , d [ i ? 1 ] [ j ? 1 ] + z i j ) d[i][j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[i][j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} ) d[i][j]=opt(d[i?1][j]+xi?,d[i][j?1]+yj?,d[i?1][j?1]+zij?)
• 狀態轉移如圖四所示：
  
• 比較經典的問題是最長公共子序列、最小編輯距離，
• 有關最長公共子序列的問題，可以參考以下文章：夜深人靜寫演算法（二十一）- 最長公共子序列
  
• 有關最小編輯距離的問題，可以參考以下文章：夜深人靜寫演算法（二十二）- 最小編輯距離

3、2D/1D

• d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k ? 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[i][j] = w(i, j) + opt( d[i][k-1] + d[k][j] ) d[i][j]=w(i,j)+opt(d[i][k?1]+d[k][j])
• 區間模型常用方程，如圖所示：
  
• 另外一種常用的 2D/1D 的方程為：
• d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ? 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[i][j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j ) d[i][j]=opt(d[i?1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
• • 區間模型的詳細內容可以參考以下這篇文章：夜深人靜寫演算法（二十七）- 區間DP

4、2D/2D

• d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[i][j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j) d[i][j]=opt(d[i′][j′]+w(i′,j′,i,j)∣0<=i′<i,0<=j′<j)
• 如圖所示：
  
• 常見于二維的迷宮問題，由于復雜度比較大，所以一般配合資料結構優化，如線段樹、樹狀陣列等，
• 對于一個tD/eD 的動態規劃問題，在不經過任何優化的情況下，可以粗略得到一個時間復雜度是 O ( n t + e ) O(n^ {t+e}) O(nt+e)，空間復雜度是 O ( n t ) O(n^t) O(nt) 的演算法，大多數情況下空間復雜度是很容易優化的，難點在于時間復雜度，后續章節將詳細講解各種情況下的動態規劃優化演算法，

3）計算幾何

• 計算幾何的問題是代碼量最大的，它是計算機科學的一個分支，以往的決議幾何，是用代數的方法，建立坐標系去解決問題，但是很多時候需要付出一些代價，比如精度誤差，而計算幾何更多的是從幾何角度，用向量的方法來盡量減少精度誤差，例如：將除法轉化為乘法、避免三角函式等近似運算 等等，
• 如果一個比賽中，有一道計算幾何的題，那么至少，它不會是一道水題，

1、double 代替 float

• c++ 中 double 的精度高于 float，對精度要求較高的問題，務必采用 double；

2、浮點數判定

• 由于浮點數（小數）中是有無理數的，即無限不回圈小數，也就是小數點后的位數是無限的，在計算機存盤的時候不可能全部存下來，一定是近似的存盤的，所以浮點數一定是存在精度誤差的（實際上，就算是有理數，也是存在誤差的，這和計算機存盤機制有關，這里不再展開，有興趣可以參見我博客的文章：C++ 浮點數精度判定）；
• 兩個浮點數是否相等，可以采用兩數相減的絕對值小于某個精度來實作：

const double eps = 1e-8;
bool EQ(double a, double b) {
    return fabs(a - b) < eps;
}

• 并且可以用一個三值函式來確定某個數是零、大于零還是小于零：

int threeValue(double d) {
    if (fabs(d) < eps)
        return 0;
    return d > 0 ? 1 : -1;
}

3、負零判定

• 因為精度誤差的存在，所以在輸出的時候一定要注意，避免輸出 -0.00：

    double v = -0.0000000001;
    printf("%.2lf\n", v);

• 避免方法是先通過三值函式確定實際值是否為0，如果是0，則需要取完絕對值后再輸出：

    double v = -0.0000000001;
    if(threeValue(v) == 0) {
        v = fabs(v);
    }
    printf("%.2lf\n", v);

4、避免三角函式、對數、開方、除法等

• c++ 三角函式運算方法采用的是 CORDIC演算法，一種利用迭代的方式進行求解的演算法，其中還用到了開方運算，所以實際的算力消耗還是很大的，在實際求解問題的程序中，能夠避免不用就盡量不用，
• 除法運算會帶來精度誤差，所以能夠轉換成乘法的也盡量轉換為乘法運算，

5、系統性的學習

基礎知識：點、向量、叉乘、點乘、旋轉、線段、線段判交、三角形面積；
進階知識：多邊形面積、凸多邊形判定、點在多邊形內判定；
相關演算法：二維凸包、三維凸包、旋轉卡殼、多邊形面積交、多邊形面積并、多邊形面積異或、多邊形和圓的面積交、半平面交、最小覆寫圓、最小包圍球、模擬退火，

• 學習計算幾何，最好是系統性的，刷題的程序中不斷提煉出自己的模板，

4）數論

• 刷題的時候遇到不會的數論題，真的是很揪心，從頭學起吧，內容實在是太多了，每個知識點都要證明吃透，不然下次遇到還是不會；不學吧，又不甘心，就是單純的想把這個題過了，真是進退兩難！
• 數論對一個人的數學思維要求較高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出來很重要，
• 當然，數論也有簡單問題，一般先做一些入門題提升信心，

1、數論入門

• 主要是一些基本概念，諸如：
• 整除性、素數與合數、素數判定、素數篩選法、因數分解、算識訓本定理、因子個數、因子和、最大公約數 (GCD) 和 最小公倍數 (LCM)、輾轉相除、同余、模運算、快速冪取模、回圈節；

2、數論四大定理

• 這四個定理學完，可以KO很多題：
• 歐拉定理、中國剩余定理、費馬小定理、威爾遜定理

3、數論進階

• 系統性的學習，基本也就這些內容了：
• 擴展歐幾里得、逆元、歐拉函式、同余方程組、擴展歐拉定理、RSA、盧卡斯定理、整數分塊、狄利克雷卷積、莫比烏斯反演、大數判素、大數因子分解、大步小步離散對數等等，

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• 今天先講這么多吧，
• 如果還有不懂的問題，可以 「 想方設法 」找到作者的「 聯系方式 」 ，隨時線上溝通，

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??相信看我文章的大多數都是「 大學生 」，能上大學的都是「 精英 」，那么我們自然要「 精益求精 」，如果你還是「 大一 」，那么太好了，你擁有大把時間，當然你可以選擇「 刷劇 」，然而，「 學好演算法 」，三年后的你自然「 不能同日而語 」，
??那么這里，我整理了「 幾十個基礎演算法 」 的分類，點擊開啟：

🌌《演算法入門指引》🌌
??如果鏈接被屏蔽，或者有權限問題，可以私聊作者解決，
??大致題集一覽：

??為了讓這件事情變得有趣，以及「 照顧初學者 」，目前題目只開放最簡單的演算法 「 列舉系列 」 （包括：線性列舉、雙指標、前綴和、二分列舉、三分列舉），當有 一半成員刷完 「 列舉系列 」 的所有題以后，會開放下個章節，等這套題全部刷完，你還在群里，那么你就會成為「 夜深人靜寫演算法 」專家團 的一員，
??不要小看這個專家團，三年之后，你將會是別人 望塵莫及 的存在，如果要加入，可以聯系我，考慮到大家都是學生， 沒有「 主要經濟來源 」，在你成為神的路上，「 不會索取任何 」，

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🔥讓天下沒有難學的演算法🔥
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競賽選手金典圖文教程 💜《夜深人靜寫演算法》💜 ??這篇文章的主要目的是講解二叉搜索樹的一些基礎概念，以及和二叉搜索樹相關的一些經典演算法，但是實際學習程序還是需要看個人的毅力和堅持，下圖代表的是 LeetCode 經典的二叉搜索樹的題集，其中樹是很重要的一個章節，涉及了諸多演算法，希望可以供讀者參考和學習，

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